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引言

梯度下降法 (Gradient Descent Algorithm，GD) 是为目标函数J(θ)，如代价函数(cost function), 求解全局最小值（Global Minimum）的一种迭代算法。本文会详细讨论按照准确性和耗费时间（accuracy and time consuming factor）将梯度下降法进行分类。这个算法在机器学习中被广泛用来最小化目标函数，如下图所示。

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为什么使用梯度下降法

我们使用梯度下降法最小化目标函数J(θ)。在使用梯度下降法时，首先初始化参数值，然后一直改变这些值，直到得到全局最小值。其中，我们计算在每次迭代时计算代价函数的导数，然后使用如下公式同时更新参数值：

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α表示学习速率（learning rate）。

在本文中，考虑使用线性回归（linear regression）作为算法实例，当然梯度下降法也可以应用到其他算法，如逻辑斯蒂回归（Logistic regression）和神经网络（Neural networks）。在线性回归中，我们使用如下拟合函数（hypothesis function）:

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其中， fb4b7ce517e248004c59fb559578e54a4a9482f4 是参数， a65bfc1e47ff7322dfe5ce55cf7f8bb891259a01 是输入特征。为了求解线性回归模型，需要找到合适的参数使拟合函数能够更好地适合模型，然后使用梯度下降最小化代价函数J(θ)。

代价函数(普通的最小平方差，ordinary least square error)如下所示：

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代价函数的梯度（Gradient of Cost function）：

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参数与代价函数关系如下图所示：

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梯度下降法的工作原理

下面的伪代码能够解释其详细原理：

1. 初始化参数值

2. 迭代更新这些参数使目标函数J(θ)不断变小。

梯度下降法的类型

基于如何使用数据计算代价函数的导数，梯度下降法可以被定义为不同的形式（various variants）。确切地说，根据使用数据量的大小（the amount of data），时间复杂度（time complexity）和算法的准确率（accuracy of the algorithm），梯度下降法可分为：

1. 批量梯度下降法（Batch Gradient Descent, BGD）；

2. 随机梯度下降法（Stochastic Gradient Descent, SGD）；

3. 小批量梯度下降法（Mini-Batch Gradient Descent, MBGD）。

批量梯度下降法原理

这是梯度下降法的基本类型，这种方法使用整个数据集（the complete dataset）去计算代价函数的梯度。每次使用全部数据计算梯度去更新参数，批量梯度下降法会很慢，并且很难处理不能载入内存（don’t fit in memory）的数据集。在随机初始化参数后，按如下方式计算代价函数的梯度：

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其中，m是训练样本（training examples）的数量。

Note:

1. 如果训练集有3亿条数据，你需要从硬盘读取全部数据到内存中；

2. 每次一次计算完求和后，就进行参数更新；

3. 然后重复上面每一步；

4. 这意味着需要较长的时间才能收敛；

5. 特别是因为磁盘输入/输出（disk I/O）是系统典型瓶颈，所以这种方法会不可避免地需要大量的读取。

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上图是每次迭代后的等高线图，每个不同颜色的线表示代价函数不同的值。运用梯度下降会快速收敛到圆心，即唯一的一个全局最小值。

批量梯度下降法不适合大数据集。下面的Python代码实现了批量梯度下降法：

1. import numpy as np  
2. import random  
3. def gradient_descent(alpha, x, y, ep=0.0001, max_iter=10000):  4.     converged = False  
5.     iter = 0  6.     m = x.shape[0] # number of samples  
7.   8.     # initial theta  
9.     t0 = np.random.random(x.shape[1])  10.     t1 = np.random.random(x.shape[1])  11.   12.     # total error, J(theta)  13.     J = sum([(t0 + t1*x[i] - y[i])**2 for i in range(m)])  14.   15.     # Iterate Loop  
16.     while not converged:  17.         # for each training sample, compute the gradient (d/d_theta j(theta))  18.         grad0 = 1.0/m * sum([(t0 + t1*x[i] - y[i]) for i in range(m)])   19.         grad1 = 1.0/m * sum([(t0 + t1*x[i] - y[i])*x[i] for i in range(m)])  20.         # update the theta_temp  
21.         temp0 = t0 - alpha * grad0  
22.         temp1 = t1 - alpha * grad1  
23.       24.         # update theta  
25.         t0 = temp0  
26.         t1 = temp1  
27.   28.         # mean squared error  
29.         e = sum( [ (t0 + t1*x[i] - y[i])**2 for i in range(m)] )   30.   31.         if abs(J-e) <= ep:  32.             print 'Converged, iterations: ', iter, '!!!'  33.             converged = True  
34.       35.         J = e   # update error   
36.         iter += 1  # update iter  
37.       38.         if iter == max_iter:  39.             print 'Max interactions exceeded!'  40.             converged = True  
41.   42.     return t0,t1

随机梯度下降法原理

批量梯度下降法被证明是一个较慢的算法，所以，我们可以选择随机梯度下降法达到更快的计算。随机梯度下降法的第一步是随机化整个数据集。在每次迭代仅选择一个训练样本去计算代价函数的梯度，然后更新参数。即使是大规模数据集，随机梯度下降法也会很快收敛。随机梯度下降法得到结果的准确性可能不会是最好的，但是计算结果的速度很快。在随机化初始参数之后，使用如下方法计算代价函数的梯度：