OpenGL--三维坐标下图形的基本几何变换

上一篇文章，我们通过齐次坐标，很方便的表示出了二维图形的基础变换形式。对于三维，我们可以将平移和缩放的结论直接推论过来

2、缩放：

对于中心点在原点的缩放，有

对于中心点不在原点的缩放，假设中心点为(x0,y0,z0),则需要先将中心点平移到原点，缩放之后再将其平移回去，综合下来其矩阵形式为：

3、旋转：

对于三维旋转，则不能简单从二维旋转进行推论，先看一种特殊的旋转：绕轴旋转。对于绕z轴旋转，z轴坐标不变，x和y轴的旋转规律与二维情况一致，其矩阵形式为：

对于绕其它轴的旋转，则可以根据右手系转换相关的原则，由z轴变换过去

对于一般的旋转，则需要将其通过一些变换，转化为绕坐标轴的旋转。对于三维坐标系中的不与坐标轴平行的直线方程，可以表示为以下形式

该直线经过点(x0,y0,z0),且方向向量为(u,v,p)

以下就三维图形绕该直线逆时针旋转为例，求其变换矩阵

1> 将(x0,y0,z0)点平移到坐标原点，平移矩阵为T,有

2> 以平移后旋转轴作为新坐标系的z'轴，建立新的x'y'z'坐标系，将z'轴旋转至其与原坐标系z轴重合。这个问题相当于共原点的三维坐标系变换问题，可以直接引用一个定理。

共原点三维坐标系变换定理：已知三维正交坐标系xyz和x'y'z'，其中x'y'z'的单位方向向量在xyz坐标中分别为(x1,y1,z1),(x2,y2,z2),(x3,y3,z3),那么xyz到x'y'z'的坐标系变换矩阵为：

这个证明的过程也相当简单，假设变换矩阵为A，则满足条件：

很容易求得：

有了这个结论，我们将该问题做一下转化。新坐标系的z’轴的方向向量已经确定，为(u,v,p)，原点为xyz的原点，还需要确定x轴和y轴的方向向量。

由于z'轴方向向量(u,v,p)不平行于xyz的任意一个轴，因此垂直于其且通过原点的平面可以表示为：

在这个平面上，取两个点，分别记为(x4,y4,z4)和(x5,y5,z5),使得这两个点与原点所形成的向量为x'轴、y'轴的方向向量，于是有以下关系：

另外，x'与y'垂直，有

这组方程，有无数组解，圆周上任意一对互相垂直的向量都可以成为其一组解。这里我们人为选定一个，令x4=1/2,则其解限制为四组，我们选取其中的一组：

这里令x4=a,y4=b,z4=c,去求解x5,y5,z5,有：

这里取其中一个值，再代入所有已知量(a,b,c和u,v,p)，即可求得新坐标系x'y'z'的三个新坐标轴的方向向量，其中z'轴方向向量经过单位化后为：（，，），因此这一步的变换矩阵可以表示为：

因此，变换的矩阵M可以写成一下形式：